北海道公立高受験作法(2) 数学の「記述式」 その2 | 札幌西区個別指導学習塾神谷塾、高校生・中学生・小学生対象|札幌西区の個別指導学習塾なら神谷塾、高校生・中学生・小学生

北海道公立高受験作法(2) 数学の「記述式」 その2

数学の「記述式」の2つめは関数の問3。例年 2次関数(2乗比例関数)が出題され,問1と問2は点の座標や比例定数,yの変域,yの増加量などを求める基本問題で各3点。問3は座標平面上の図形の面積を求めたり,図形の面積から比例定数を求めたりする応用問題で4点満点です。問3だけは答(結論)だけでなく途中の計算(導出の過程)も書くようになっています。
道コンではおおむね中2の1月からこの形式の出題があります(関数は1次関数とか反比例ですが)。それまでは答だけで良かったのに,途中の計算も書けという。連立方程式の「計算」のように型が決まっているわけではなく,何をどういう順序でどこまで書けばいいのかわからない。それでなかなか書けるようにならない…とお嘆きの受験生が多いはずです。
そこで今回はその手ほどきをしましょう。道コンでは中2の8月までは正解かどうかで3点か0点(中間点なし)ですが,この形式になると中間点を1点でも2点でも稼ぐことができるようになります。「より実力を反映させられるようになる」と前向きに捉えましょう。
まず,解答欄のどこかに必要な座標とか方程式が書かれていればあまり心配は要らないと思ってください。「きちんと書かないと見てもらえない」などと身構えなくていいのです。採点する高校数学の先生は「そこで何を計算しているか」ぐらいは“解読”してくれますからね。ただし,前回書いたように「採点する人の身になって書く」のが大切。何を t と置いたのか,何を計算するのか,なぜそうするのか,書けることは書いたほうが“解読”の助けになるのはもちろんです。
2019年入試の正答例はこうなっています。問題の内容はこちらを見ていただくことにして,問3の設問だけ書きますと,
「点Aの x 座標を t とします。△ABCが直角二等辺三角形になるとき, t の値を求めなさい」
(計算)
A( t,(1/3)t2 ) だから, B( t,t2 ),C ( -t,(1/3)t2 ) ★1
ABの長さは (2/3)t2 ……①, ACの長さは 2t ……② ★2
AB=ACより, (2/3)t2=2t ★3
t(t-3)=0 ★4
t>0より, t=3 ★5
(答)
t=3

まず必要な3つの点A,B,Cの座標を書きます(★1)。先ほど「型が決まっているわけではなく」と書きましたが,冒頭部分には「型」があるといってよさそう。点Aの x 座標が t と与えられていますので,ほぼ,これを関数の式に代入するだけ。A(○,△)と書けば「点Aの座標は(○,△)である」という意味(約束)ですので,「点Aの座標は」と断る必要はありません。また,「だから」はなくても構わないでしょう。できるだけ簡略に,必要な点の座標を書いておくだけでOK。計算の必要があればそれば問題用紙に書くか暗算で済ませて,結果を書いておけばOK。本問では該当しませんが,問題によってはここで早くも中間点1点を取れます。
本問の△ABCで直角になり得るのは∠Aだけなので,直角二等辺三角形になるのはAB=ACの場合に限られます。このことは記述しておいたほうがいいでしょう。その上で辺AB,辺ACの長さを求めます(★2)。正答例で「ABの長さは」と書かれている部分は「AB=」でよろしい。その代わり,結果だけではなく「途中式」を書いたほうがいいでしょう。本問ではここで中間点1点×2です。
“役者”が揃ったら方程式を立てます(★3)。本問ではここで中間点1点。正答例では一気に整理して★4としていますが,方程式を解く過程をここに書いてもいいでしょう。また,この方程式には解が2つあるので,それは両方書いておいて,最後に★5のように「解の吟味」をするほうがいいでしょう。
以上のように手を入れますと,正答例は次のようになります。
(計算)
A( t,(1/3)t2 ) ,B( t,t2 ) ,C( -t,(1/3)t2 )
△ABCが直角二等辺三角形になるのはAB=ACのときである。
AB = t2-(1/3)t2 = (2/3)t2
AC = t-(-t) = 2t
AB=ACより, (2/3)t2=2t
   t(t-3)=0
   t=0,t=3
t>0より, t=3
(答)
t=3

正答例よりも長くなりましたが,この程度には丁寧に書いたほうがむしろ書きやすいのではないかと思います。2行目に日本語文が入りましたが,条件を明らかにしておくことは大切ですので,惜しげもなく日本語を書いてください。一方,他の部分ではほとんど記号と数式だけで行けるはずです。
このぐらいなら書けそうだという気になりませんか。実際そんなに難しいことではないはずですが,それでも道コンの時だけやろうとしてもうまくいきません。日頃からこのぐらいの「記述」をしながら答を出す習慣を身につけておく必要があります。そして,高校数学の関数の問題になれば導出の過程は全部書くのが普通です。やがて始まる高校数学に備えて,高校受験を利用して記述力をつけておきましょう。

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