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三角関数の加法定理

高校生から数学で相談を受けることの多いテーマがいくつかありますが、今日はその筆頭のひとつ、三角関数の加法定理とその周辺について。(数学Ⅱ)

この辺りは、教科書レベルの習得がいまひとつという状態の子たちにとっては厄介な場所のようです。サイン・コサインのオリジナルの加法定理に続いて、2倍角の公式とか、サイン・コサインの合成とか、公式のオンパレードのような場所です。これらを“暗記”できてしまう人には一見なんでもないようなものですが、少なからぬ高校生が“暗記”しそこなっていて、時間が経つと「はて、どちらが+でどちらが-だったっけ」と迷ったり、あげくに間違えて大問まるごと落としたりという辛い目に遭っているようです。

それは“暗記”に頼ろうとするのがいけないのですが、「作戦」を教えられていなければいたしかたなく、同情の余地があります。その「作戦」というのは別にどうということはなくて、

オリジナルの加法定理だけ正確に記憶して、あとは問題を解くその場でテキパキと導出する

というだけのことです。力のある人には重々承知のことでしょう。私も暗記は苦手なので、ずっとこの作戦でやってきています。符号を間違えることはまずありません。

 オリジナルの加法定理はこうです。

   sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β …①
   cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β …②

 1999年の東大入試でこれを証明せよという問題が出たことがあります(良問でしょう)が、普通はそういうことはないので心配要りません。ただし、どういうアイディアで導くのだったかはときどき教科書でチェックすべきです。じっさい、「2つの角の和のサイン・コサインが、もとの角のサイン・コサインで表せてしまう」という事実にはちょっと目を見張るものがあるのです。

 さて、ここからが本題です。

まず、(  ) の中が α - β のときは、右辺中央の符号が逆になります。 + β が - β に変わると、sin β だけ符号が変わりますからね。また、tan ( α ± β ) は、sin ( α ± β ) を cos ( α ± β ) で割って変形すればOK。

では、2倍角の公式です。①、②で β = α とすれば、

   sin ( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α
     ∴ sin 2 α = 2 sin α cos α …③

   cos ( α + α ) = cos α cos α - sin α sin α
    ∴ cos 2 α = cos2 α - sin2 α …④

tan 2 α は ③ ÷ ④ を変形します。

次に、④ から sin または cos を消去すると、別名「半角の公式」が出てきます。

  cos 2 α = ( 1 - sin2 α ) - sin2 α = 1 - 2 sin2 α
    ∴ 
sin2 α = ( 1 - cos 2 α ) / 2 …⑤

  cos 2 α = cos2 α - ( 1 - cos2 α )  = 2 cos2 α - 1
    ∴ 
cos2 α = ( 1 + cos 2 α ) / 2 …⑥

この2つが「どちらが+だったっけ」と迷う代表格だと思いますが、② → ④ → ⑤ ⑥ という筋さえ憶えておけば、導出にさして時間はかからず、間違う心配もなく、うろ憶えの式を当てはめて足を踏み外すよりよほどいいはずです。

記憶に頼るのでなく導き方をマスターすべし、という作戦は、旧課程の教科書にあった次の2種:

「積→和の公式」 sin α cos β = { sin ( α + β ) + sin ( α - β ) } / 2  など
「和→積の公式」 sin A + sin B = 2 sin { ( A + B ) / 2 } cos { ( A - B ) / 2 }  など

で特に重要でした。現行の指導要領にはこれらはないので、いまの高校生は三角関数に関してはかなりラクができているわけです。私が高校生のころは、やはりどうしても記憶に頼るところがあって、とりわけ「和→積」のほうでは泣かされましたね。若い頃よりも、中年になってからのほうが調子がいいくらいです。

ここまで書いたらくたびれてしまいました(笑)。そんなわけで、高校生たちには上の公式群よりもさらに評判が悪い 「 サイン・コサインの合成 」 については次回ということにいたします。

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