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三角関数の加法定理(続)

高校数学Ⅱの、三角関数の加法定理とその周辺の話題の続きです。オリジナルの加法定理は記憶すべきですが、2倍角の公式や半角の公式は暗記しないで“現場”でササッと導出するのがいいとお勧めしました。今日はそれらよりももっと高校生に評判の悪い「サイン・コサインの合成」について。これこそ、公式と思って憶えようとすると失敗する可能性が大きいのです。

  a sin θ + b cos θ = r sin ( θ + α )
  ただし r = √( a2 + b2 )、 α は cos α = a/r 、sin α = b/r  を満たす角

間違うとしたら、たぶん a と b を取り違えるケースが後を絶たないのでしょう。私も、これはすぐに間違えそうになるので、憶えないことにしています。といいますか、「加法定理を利用して変形するのだ」ということだけ記憶しています。

では、まず上の「公式」を導いてみましょう。

最初に、問題によっては注意力を問うためか(意地悪なだけか?)サインから書いてあるとは限らないので、必要なら a sin θ + b cos θ の形に整えます。次に、x 軸と y 軸、原点Oを書き、座標が ( a 、b ) である点Pをとります。なぜそうするかというと、そういうアイディアだから。言い換えれば、あとで便利だからです。図をここに出せなくて申し訳ないですが、この変形をするときは、必ず今のこの図を書く習慣をつけましょう。図なしでやっても変形の意味がわかりません。わからずにやると、間違えます。

さて、点Pから x 軸に垂線を下ろすと直角三角形ができます。この斜辺OPの長さを r 、x 軸の正の向きとOPとのなす角を α とします。すると、 r = √( a2 + b2 )、 sin α = b / r 、 cos α = a / r  が得られます。もちろん、たとえば a = 1 、 b = √3 であればモンダイの角は60°なのですから、α など使う必要はありません。これも図をきれいに描いていればすぐにわかります。

では変形しましょう。ポイントは r でくくるというところ。

  a sin θ + b cos θ
     = r ・ a/r sin θ + r ・ b/r cos θ
     
r ( sin θ ・ a/r + cos θ ・ b/r )
     r ( sin θ cos α + cos θ sin α )  
     = r sin ( θ + α )             【 加法定理より 】

以上です。この変形を、問題を解くときにもいちいち実行してください。ではちょっと例題。

  √3 sin θ + cos θ    【 a = √3 、 b = 1 、 r = 2 、 α = 30°】
     = 2 ・ √3/2 sin θ + 2 ・ 1/2 cos θ
     = 2 ( sin θ ・  √3/2 + cos θ ・ 1/2 )
     = 2 ( sin θ cos 30°+ cos θ sin 30°)
     = 2 sin ( θ + 30°)

もうひとつ。今度は入試問題です。文字は θ とは限らず、角 α も有名な角とは限らない。

  「 0°≦ x ≦ 90°のとき、2 sin x + cos x  の最大値と最小値を求めよ 」

  a = 2 、 b = 1 、 r = √5 、 cos α = 2/√5 、 sin α = 1/√5 です。
                     ( こういうときに α をつかいます )
  2 sin x + cos x
     = √5 ( sin x ・ 2/√5 + cos x ・ 1/√5
     = √5 ( sin x cos α + cos x sin α
     = √5 sin ( x + α )

  最大値と最小値を知るために、α の値はわからなくても構いません。
  図を描くと 0°< α < 45°であることがわかり、 
  0°≦ x ≦ 90°、 α ≦ x + α ≦ 90°+α から、

  x+α = 90°のとき sin ( x + α ) は最大となり、最大値は
       √5 sin 90°= √5 ・ 1 = √5        [ 答 ]
  x+α = α ( x = 0°) のとき sin ( x + α ) は最小となり、最小値は
      2 sin 0°+ cos 0°= 2 ・ 0 + 1 = 1   [ 答 ]

  

 

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